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前面提到過慣性，慣性必然涉及外因的出現(xiàn)。宇宙中的事物總是相互聯(lián)系的（馬赫慣性系），對稱的事物及其外因是綁定的。當(dāng)考察某事物對稱性變化時，外因的集合（外因的總體）是否滿足對稱，或外因與事物的關(guān)聯(lián)方式是否滿足對稱，都會對事物的演變、對稱破缺產(chǎn)生影響。而對影響結(jié)果的分析，可在不了解事物演變規(guī)律的情況下，進行粗略評估。

在上述闡述中，因?qū)е鹿侨笔≌f明的內(nèi)在要求。稱這種關(guān)系為因果關(guān)系。佛教里面跨越時空的因果關(guān)系不在討論范圍內(nèi)。我們討論的都是可以重復(fù)進行、反復(fù)驗證的因果關(guān)系。

以馬格努斯效應(yīng)為例，如右圖。球向左飛行，如果球不旋轉(zhuǎn)，則球保持上下鏡像對稱，對稱中心線就是穿過球心的左右水平線。而球保持旋轉(zhuǎn)。則球的兩側(cè)相對空氣的速度有差異，破壞了上下對稱，即便不了解空氣壓力，也可知道球偏離原始的單純向左運動。至于向上還是下偏移，則需要了解運動規(guī)則細節(jié)才能知道。旋轉(zhuǎn)導(dǎo)致上下對稱破缺，產(chǎn)生軌跡偏移。因=對稱破缺，果=軌跡偏移，偏移方向位于對稱破缺的方向上，即上下方向（而不是垂直紙平面方向）。

法國人居里（他的妻子就是居里夫人）提出對稱性原理：原因中的對稱性反映在結(jié)果中，結(jié)果中的對稱性不少于原因中的對稱性。（對應(yīng)的逆否定理自己給出）

同樣是球的飛行，現(xiàn)在方向變?yōu)閺募埨锵蛲獯怪庇诩埫骘w行，從球的正面觀察，球保持旋轉(zhuǎn)對稱，對稱軸是穿過球心的垂直于紙面的直線。現(xiàn)在球存在旋轉(zhuǎn)，但旋轉(zhuǎn)軸和球的旋轉(zhuǎn)對稱軸重合！那么球的旋轉(zhuǎn)沒有破壞球在前進方向上的旋轉(zhuǎn)對稱性，因此不會對球的飛行軌跡產(chǎn)生任何影響?；鹌靼l(fā)展到十九世紀(jì)，出現(xiàn)線膛槍，射出的子彈就帶有旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軸和子彈飛行軌跡重合。這種旋轉(zhuǎn)對空氣的干擾有很強的抵抗能力，準(zhǔn)確度大大高于滑膛槍，現(xiàn)代的槍支都是線膛槍。

思考：

水是良好的溶劑，但是無法溶解油脂。因為水的分子結(jié)構(gòu)對稱性低，雖然整體不帶電性，卻使得分子的某個方向產(chǎn)生電負性，相反方向是電正性。而油脂的分子對稱性高，整體和局部都不存在電性。水這樣的分子稱為極性分子，油脂類型的稱為非極性分子。可以想象，水能溶解的物質(zhì)，都存在和水分子一樣的狀況，要么是極性分子，要么可以分離為電正性、電負性兩部分。而油脂類型的分子也可以做溶劑，比如汽油?？梢匀芙獾姆肿右脖厝皇菍ΨQ性程度接近，都是極性分子。比如手上沾了油漆，需要用汽油清洗。酒精，既可溶解極性分子（水），也能和非極性分子混合（香精）。從分子的結(jié)構(gòu)來看，局部是極性分子，局部是非極性分子。但對極性分子和非極性分子的溶解能力都低于極性溶劑和非極性溶劑。洗潔精，使用的溶劑就和酒精類似，同時存在極性部分和非極性部分，可以洗滌油脂，并溶解于水。

平行四邊形，滿足鏡像對稱（穿過對角線交點的直線都是對稱中心線）、旋轉(zhuǎn)對稱（旋轉(zhuǎn)180度）。當(dāng)變形時，對稱不產(chǎn)生破缺！依然保持平行四邊形。那么意味著平行四邊形可以任意變形。正三角形，滿足鏡像對稱（3個對稱中心線）、旋轉(zhuǎn)對稱（旋轉(zhuǎn)120度），通常的三角形沒有對稱性。那么三角形發(fā)生形變時，對稱性通常消失了。比較兩種形狀的對稱性變化情況，可得到結(jié)論：三角形形變是破壞性的，而平行四邊形形變則保持完整性。那么三角形形變的代價大于平行四邊形（如果三角形和四邊形都不存在對稱性，無法使用對稱性來分析）。立體結(jié)構(gòu)中，正四面體的情況和平面中的正三角形類似。平行六面體和平面中的平行四邊形類似。那么同樣正四面體很難形變，而平行六面體很容易形變。自然界最硬的物質(zhì)金剛石，就是正四面體結(jié)構(gòu)，其他堅硬的物質(zhì)（剛玉，通常形式，莫桑石），都存在三角形結(jié)構(gòu)?；?，就是平行六面體，硬度很低，不如指甲。

電磁波充斥著宇宙，電場和磁場相互耦合。直觀看起來，電場和磁場的對稱性類似。丹麥人奧斯特做了一個實驗，如右圖。在直導(dǎo)線上平行放置一個磁鐵，兩者位于紙面所在平面。當(dāng)導(dǎo)線通電時，磁鐵偏轉(zhuǎn)，離開紙平面。整個實驗系統(tǒng)是保持同一平面內(nèi)，作用雙方導(dǎo)線和磁鐵是平行，按照對稱性要求，合理的結(jié)果應(yīng)該是磁鐵平行靠近或遠離導(dǎo)線（對稱性保持最高），或者南北極一方靠近，另外一方遠離（南北極的差異體現(xiàn)）?？傊潜３滞黄矫妗＝Y(jié)果卻破壞了對稱性。這說明不對稱性是出現(xiàn)在電場或（和，）磁場中（按照居里定理的逆否形式）。電荷有單獨的正電荷或負電荷，而磁極卻永遠是南北極共存，無法分離。這正是雙方對稱性不相同的外在表現(xiàn)。

中國歷史時間平移性維持了千年，同時保持了社會結(jié)構(gòu)的對稱。基本是上層建筑和底層民眾，不同朝代的上層出現(xiàn)方式不同，漢：世家，晉、南朝：上品，北朝：門閥，隋：門閥（時間短是因為門閥反擊楊廣成功），唐：門閥->軍閥。宋：貴族消失，進入市民時代，中國進入頂峰時期，或許會改變時間平移性。但蒙古人入侵，中國滅亡。

迦太基是腓尼基人的移民國家。腓尼基公主避禍來到突尼斯灣，向當(dāng)?shù)厝饲蠼枰粡埮Ｆさ耐恋貤怼＋@準(zhǔn)后將牛皮剪成長條，圈里一大塊地，修建了迦太基城。雖然采用了騙術(shù)，但對公主的承諾依然有效，如果是個王子的話，估計就是當(dāng)?shù)嘏最I(lǐng)同意的結(jié)果。問題是，牛皮長條的長度固定，所圈的土地是何種形狀才能保證面積最大呢？我們采用對稱的方法來解決。a.從直覺來看，牛皮繩索同樣長度對面積的貢獻應(yīng)該是相同的。這個意味著從土地內(nèi)觀察繩索，滿足旋轉(zhuǎn)對稱。土地就是圓形。b.從推理的角度，我們必須逐漸細化分析過程，獲知土地形狀。定義：1凸域，凸域邊緣任意兩點連一條直線，必然屬于內(nèi)部區(qū)域，不會和邊緣有交點.2邊緣上某點和相距周長一半的另外一點的連線稱為徑。推理次序：b.1土地的形狀必然是凸的，為什么？b.2徑將土地分為兩塊，則兩塊的面積一定相等。b.3如果徑點所在地邊緣是直線段，則此線段必然和徑垂直。使用鏡像對稱證明。b.4邊緣不存在任何直線線段，邊緣是弧形的。使用鏡像對稱證明。b.5弧形邊緣的切線必然和切點對應(yīng)的徑垂直，使用鏡像對稱證明。b.6不存在某點是兩段弧的交點，即此點存在兩條切線，切線的夾角不等于180度。使用旋轉(zhuǎn)180度對稱證明。b.7任意多個徑的交點為同一點。使用鏡像對稱證明。b.8徑的交點平分徑。使用鏡像對稱證明。b.9徑的長度都相等，使用鏡像對稱證明（*）b.10滿足以上條件的邊緣就是圓，土地就是圓形。#（若不使用對稱方法，則需要變分法來推理。）

按照上題的推理方式，證明固定面積所圍的封閉空間體積最大的形狀是球形。在球面上，兩點距離最短的線是什么？（線必須在球面上，不能穿越內(nèi)部空間）（定義其中一點為北極，按照地球情況來看，北極和任意一點之間最短的線是什么？）最長的線又是什么？如何使用對稱原理來推理？國際航班路線，經(jīng)常穿過若干個國家的領(lǐng)空，會發(fā)現(xiàn)穿過領(lǐng)空的國家在地圖上似乎并不在航線起點和終點之間。

現(xiàn)實的空間邊界難以精確界定，游戲中的空間通常都是精確的。以游戲人物的包裹為例，都是二維的離散格子組成的空間。裝入的物品也是小型號的二維離散格子，那么在填充包裹時，如何才能包裹容納效率最高？隨便在包裹中亂放物品，剩余空間會變得非常破碎，導(dǎo)致雖有足夠的剩余空間，但無法放置一個物品。剩余空間以何種指標(biāo)指示，才能反映剩余空間的完整程度？如有可能，編程實現(xiàn)包裹自動安置物品，使得包裹可以最大程度地滿置。

前面提到蜂巢，表現(xiàn)為正六邊形，完整地布滿整個平面。布滿平面而沒有縫隙的形狀有正三角形，正方形和正六邊形（事實上，正五邊形和等腰三角形混合、正方形和正三角形混合、2種菱形混合都可以鋪滿平面不留縫隙）。當(dāng)設(shè)定以最小的邊長總和來劃分某面積時，毫無疑問，最接近圓的形狀滿足條件，結(jié)論就是正六邊形劃分平面。所以蜜蜂的蜂巢就是這一結(jié)果，可以最節(jié)省建筑材料。

信息的對稱問題。在變換中，如果初始的信息沒有任何損失，全部存在于結(jié)果中，那么從結(jié)果可以反推初始信息。我們對世界的認識就是以這種信息的反推得到。如果變換中損失部分初始信息，那么從結(jié)果反推初始信息將有兩種情況：1.無法反推。2.反推出多個初始信息。現(xiàn)代密碼算法，避免破譯的方法就是制造信息損失（損失的信息就是密碼?。Ｍㄓ嵵械募用苄盘?，還要和偽隨機信號進行處理，得到近似隨機信號，讓信號進入徹底的熱寂狀態(tài)。加密過程的復(fù)雜程度和解密過程的復(fù)雜程度不對稱（這些過程的通常名稱叫算法），解密復(fù)雜程度更高，使得復(fù)原信息的代價大幅度增加，當(dāng)代價大于信息的價值時，我們就認為加密是有效的?，F(xiàn)實生活中說某人的城府深淺，也是信息隱藏的另類稱呼。比如說胸有驚雷而面如平湖，隱藏對某信息的反應(yīng)，以欺騙觀察者?；蚣侔V不癲，直接給出錯誤信息。我們的眼睛為什么是兩只？我們觀察的三維對象，進入我們的眼睛，投影在視網(wǎng)膜上。而視網(wǎng)膜是二維，因此必然出現(xiàn)信息丟失。而同一對象中兩只眼睛的視網(wǎng)膜上的投影是有差別的，這種差別彌補了投影帶來的信息損失，使得我們的大腦可以加工出對象的真實情況。剛才的分析可以得到什么結(jié)論呢？差別=信息！這就是為什么彩色的世界比黑白的世界更豐富，原因就是差異更大。同等的差異程度，信息相同嗎？狗咬人，人咬狗，差異程度類似，但是一個很常見，一個很罕見。則罕見的差異信息更多。波特蘭.羅素曾說過：參差多態(tài)乃幸福的本源。信息豐富，至少精神追求多樣化。人失去個性，僅存共性，就成為卡夫卡所說的“沒有面孔的人”，連環(huán)畫中的士兵都是這樣。

觀察宇宙，由光譜和多普勒效應(yīng)，我們得到宇宙正在膨脹！那么能否由觀察不同距離的遠離地球的速度，推導(dǎo)出宇宙的膨脹中心呢？二十世紀(jì)二十年代，美國天文學(xué)家沙普利建立了銀河系模型，并根據(jù)觀察來確定中心與直徑。但站在地球上觀察銀河，只能看到天空中它的原始意義，因為太陽是位于銀河系中。通常是“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，但我們依然推導(dǎo)出銀河整體的全部信息。從對稱的角度來看，按照居里定理，純粹的內(nèi)部視角信息無法推理出以外部視角觀察到信息。就像一個人不借助外部因素，無法把自己提起來一樣。所以借助了銀河系以外的觀測信息進行補充。內(nèi)部視角信息+內(nèi)部視角觀察外部所得信息->外部視角的信息。銀河的中心、直徑、恒星數(shù)量估計，這些信息是僅與自身相關(guān)，而運動方向及速度、旋轉(zhuǎn)速度信息是從銀河外視角觀察的。當(dāng)給出宇宙邊界的界定方式、恒星的演變規(guī)律、宇宙的模型，那么僅與宇宙自身相關(guān)的信息就可以通過觀測的數(shù)據(jù)進行反演。數(shù)據(jù)同時可以修正模型，這樣反復(fù)進行，就在對宇宙而言塵埃一樣存在的地球上，得到宇宙的景象！而宇宙是膨脹的->宇宙具有起點->宇宙居然可能不是永生的！

能量轉(zhuǎn)換的對稱問題。功轉(zhuǎn)熱，效率100%，熱轉(zhuǎn)功，效率<100%。因此熱功轉(zhuǎn)換不對稱。這種不對稱產(chǎn)生的后果就是時間單向性。若熱功轉(zhuǎn)換對稱，則永生都是可能存在。但實際上一個物質(zhì)能量封閉系統(tǒng)，最終進入熱寂。

梅樂芝經(jīng)理的科普文章（十三）

第13節(jié)分形和混沌

標(biāo)度對稱，放大縮小后保持不變，換而言之，對象的一部分和整體相似。一朵白云，取其一半，還是一朵白云。而通常的物體，比如一個汽車，取其一半，只是汽車零件而已。但是，在地球上任何實際的物體，不能持續(xù)按照標(biāo)度對稱的方式，反復(fù)取其一半。因為到達分子階段，物體的外在形式已不存在。在我們的想象中，或理論思考中，我們可以認為這樣一種局部和整體相似的情況存在，不必反復(fù)進行放大或縮小。

海螺的體型，幼年和成年完全可以認為是放大縮小關(guān)系。但是人的體型，幼年和成年，完全不同。比如嬰兒的眼睛位于頭部中間，成人卻是位于頭部三分之二。嬰兒的頭部和身高比例是1：5，隨著年齡增加，頭部身高比例降低到1：7。對動物而言，多數(shù)都不滿足幼年和成年身體尺寸比例恒定。前面曾闡述過動物的身體重量、攝入食物量、散熱狀況、身體骨骼承受能力相互之間的關(guān)聯(lián)。因此按比例放大是不可能存在。而海螺類似的動物，其身體類似一個扁平的餅狀，螺旋狀的管道形成身體結(jié)構(gòu)，內(nèi)部并無骨骼，移動需求也可以忽略。并且隨著體型變大，螺管的厚度也在增加。和其他無恒定比例的動物結(jié)構(gòu)完全不同。

樹木和動物有很大區(qū)別。每顆樹都有根部，依賴根部從土壤獲得的水分和礦物質(zhì)。每根樹枝依賴母枝提供養(yǎng)料，母枝對樹枝而言就是土壤。則樹枝的成長過程和樹木本身完全類似，僅僅是規(guī)模不同。而動物的身體各部分功能不同，整體才能組成生命體。且各部分的生長方式完全不同，對身體而言，不存在局部和整體類似的生長狀況（少數(shù)動物，比如蚯蚓，身體分為兩段，可以獨自繼續(xù)成長。這類型的動物接近標(biāo)度對稱）。

自然界中，局部和整體相似處處存在。一個樹枝，上有分枝，分枝又有小枝，小枝還有樹葉。這個和樹本身就很相像。從衛(wèi)星角度觀察海岸線，曲曲折折。從飛機上觀看海岸線，曲曲折折。走在海邊，看海水的邊緣，曲曲折折。雖然不盡相同，但是曲曲折折的形象完全雷同。攀登山峰，總是看到更遠處的高山。待到登上高峰，發(fā)現(xiàn)遠處連綿不絕的山脈繼續(xù)在前方蔓延。雖然形狀稍有不同。但是連綿不絕形成的山色涂層，如同畫布上的色帶一樣，顏色逐漸遞淺。雖不是秋水共長天一色，卻是極目楚天舒的效果。無論在那里登山，層層疊巒的風(fēng)景依然歷歷在目，禁不住讓人喊道：我又回來了。

現(xiàn)代電腦游戲的效果越來越逼真，山脈、云彩、森林、星球都很難分辨是照片或電腦生成。這些外在差異巨大的對象，以計算機的視角來看區(qū)別很小，整體的計算機描述沒有區(qū)別，僅僅是若干細節(jié)的數(shù)值不同。我們來觀看如何生成雪花的輪廓。線段長為3，對其三等分，補充兩個長度為1的線段，令補充的線段和三等分中間的線段組成一個正三角形。然后去掉線段三等分中間的一段。我們把這個過程稱為構(gòu)造過程?，F(xiàn)畫一個正三角形，對每一個邊進行構(gòu)造過程，則產(chǎn)生12個線段，對新生成的12個線段再進行構(gòu)造過程。則產(chǎn)生48個線段。對新生成的線段重復(fù)進行構(gòu)造過程，持續(xù)不斷。最后就生成了一朵雪花的輪廓。最早由瑞典人koch構(gòu)造，稱為koch雪花。

koch雪花有什么特點呢？每構(gòu)造一次，線段的長度就為原長度的4/3倍。重復(fù)進行下，則線段長度無限增加。雪花的面積最終是多少呢？設(shè)原三角形面積為1，最后的雪花面積為1.6。面積是有限值，而長度無限增加！通常的線段長度都是有限的，而koch構(gòu)造的線段長度無限，按照前面定義的一維（長度）、二維（面積）、三維（體積），koch的線段并不滿足通常的維數(shù)定義。雖然是線段，不可能是二維，但長度無限，也不是一維情況。為了能夠使用維數(shù)來定義對象，我們?nèi)∠S數(shù)是整數(shù)的要求。那么koch線段的維數(shù)就處于一維和二維之間的某個數(shù)值！標(biāo)度對稱中的增加系數(shù)，就是構(gòu)成過程進行一次線段長度增加的比例4/3。

觀察人體的肺泡，前面曾介紹，為了充分進行氣體交換，人體的肺泡數(shù)量多而體積小，在總體積不變的情況下，肺泡面積大幅度增加。如圖為肺泡示意圖?？梢钥吹?，和樹木的情況類似，氣管是樹干，支氣管是樹枝，支氣管下分的小管道是小枝，肺泡是樹葉。如果這個過程持續(xù)分散下去，最終肺泡面積會達到無限，但實際的生物世界總是存在限制，但從思考的角度可以認為肺泡也是一類型的標(biāo)度對稱。其特征是體積有限，但面積無限！因此人體肺組織的維數(shù)就是介于二維和三維之間。標(biāo)度對稱中的增加系數(shù)，就是肺泡每級分割空間所增加的面積比例。

現(xiàn)在我們命名這些維數(shù)居然不是整數(shù)的對象，稱為分形對象。可發(fā)現(xiàn)，這些對象僅僅是滿足標(biāo)度對稱的特定分類。標(biāo)度對稱的增加系數(shù)則依賴構(gòu)造過程中的表征增加比例，比如長度增加比例。

思考：

1.在現(xiàn)有世界中，我們可以觀察的靜態(tài)對象最大維數(shù)為3。當(dāng)維數(shù)不限定為整數(shù)后，可觀察大量維數(shù)0～3之間的對象。那么是否存在維數(shù)大于3的對象？膨脹的宇宙算否？

2.koch線段的標(biāo)度對稱增加系數(shù)為4/3，維數(shù)介于1和2之間，能否使用4/3來描述其維數(shù)？回憶我們對維數(shù)的定義，這樣的增加系數(shù)是否滿足重的要求？對于肺泡這樣的對象，如何使用增加系數(shù)來定義維數(shù)？以汽車的尾氣凈化裝置中的鉑顆粒的分形過程為例，嘗試給出維數(shù)數(shù)值。

3.如右圖構(gòu)造，對線段取三等分，去掉中間的一段。重復(fù)構(gòu)造下去，則線段的長度為0！此時線段的維數(shù)小于1。線段最后變成無數(shù)個離散的點，線段已經(jīng)無法維持，成為點集。以德國人cantor的名字命名。

4.如右圖構(gòu)造，在立方體的某個面上，九等分為九個正方形，挖掉中心正方形對應(yīng)的立方體，對其他五個面也同樣進行挖掉中心立方體。也就是對立方體二十七等分，挖掉各面六個，最后將立方體中心的小立方體（顏色涂黑的部分）也挖掉。以上操作完成一次構(gòu)造。反復(fù)進行同樣構(gòu)造，最后立方體的體積為0，面積無限，變成一塊海綿，以波蘭人sierpinski的名字命名。嘗試給出維數(shù)。觀察面筋、凍豆腐、雪魔芋。

5.皮蛋，又稱松花蛋，在蛋白表面存在若干花紋，類似松花。形成的原因稱為粘性指進（viscousfingering），因流體粘度不同，粘度小的流體滲透進粘度大的流體時產(chǎn)生的隨機分叉狀況。（皮蛋的蛋白液變性，失去生物活性，成為凝固狀蛋白，通常稱這種現(xiàn)象為中毒。早期皮蛋的外包藥劑中含有鉛的氧化物，俗稱密陀僧。現(xiàn)代皮蛋工藝中去掉了鉛，采用鋅或銅的氧化物。）

分形的構(gòu)造過程中，重復(fù)進行構(gòu)造，每次構(gòu)造的規(guī)模不同，依次遞減，我們將這種遞減規(guī)模的重復(fù)構(gòu)造行為稱為遞歸。標(biāo)度對稱和遞歸是對同一種現(xiàn)象的不同視角描述：標(biāo)度對稱側(cè)重整體特征，是靜態(tài)描述；遞歸側(cè)重實現(xiàn)過程，是動態(tài)過程。事實上，規(guī)模的遞減是表面現(xiàn)象，遞歸的本質(zhì)是：每次遞歸都在上次遞歸的結(jié)果上進行。

現(xiàn)代軍隊的組織是標(biāo)度對稱。以三三制為例：一軍三師，一師三團…；變成一顆樹的情景。樹根是軍，樹干是師…樹葉是士兵。軍隊的指揮是遞歸過程，軍長給師長下令，師長給團長下令…班長指揮士兵。每個指揮者僅僅指揮若干個下屬即可。

分形都存在對應(yīng)的遞歸實現(xiàn)。以sierpinski墊片為例。a：如圖所示，面積逐漸減少，最后為0。b：讓人震驚的另類遞歸構(gòu)造。1.在三角形內(nèi)任意取一點，如右圖中的十字星位置，2.隨機選三角形一個頂點和十字星點連接，取連線中點，用五角星表示。3.使用步驟2生成的五角星點為頂點，重復(fù)步驟2。最后也生成了sierpinski墊片。注意：在表面上看此遞歸過程和上圖中的遞歸不同，但實質(zhì)都是依賴上次構(gòu)造過程的結(jié)果來進行。由居里對稱定理來分析，初始值是隨機，過程對稱，群體結(jié)果居然是對稱！似乎不滿足定理。但初始值隨機，則全部隨機的初始值可以布滿整個三角形內(nèi)部，意味著初始值的群體是對稱的。即消除了個性的群體屬性是對稱的，對稱的原因->對稱的過程->對稱的群體結(jié)果。那么任意一個隨機初始值，不過是這個對稱過程的具體實施。（結(jié)果是群體的！假設(shè)結(jié)果也是個體的，則初始群體的對稱->結(jié)果群體的對稱，單個初始和單個結(jié)果是否對稱，則完全不知！此刻是個體->個體，而非個體->群體）（并非所有的隨機初始->對稱過程->對稱群體結(jié)果，但群體結(jié)果的和是對稱的。）

sierpinski墊片內(nèi)包含任意一維的圖形。按照a生成方法，結(jié)果讓人很難相信，一個所有條件都固定的生成方法居然可以包含任意一維圖形。但按照b生成方法，由于初始值是隨機的，出現(xiàn)任意的一維線條組合似乎容易接受。在koch構(gòu)造中，新增加的2個線段突起的方向固定是起點到終點的左邊。若讓突出方向變?yōu)殡S機，則koch線段也可以包含任意一維圖形。你能想象到的一維任意復(fù)雜圖形，都沒有sierpinski墊片和隨機koch線段復(fù)雜！這種包含了全部（!）一維圖形的一維圖形，我們稱它實現(xiàn)了一維圖形的遍歷。普通的koch線段內(nèi)，存在平移對稱或旋轉(zhuǎn)對稱，無法滿足遍歷性。

最早研究分形的幾何圖形的人是法國人本華?曼德博（mandelbrot），他使用復(fù)數(shù)遞歸給出了極其漂亮的分形圖形，這些圖形充分闡述了分形的特征，自相似，也就是標(biāo)度對稱。

思考：

1.我們的大腦，保持分形結(jié)構(gòu)，存在大量褶皺，使得大腦皮層的面積達到很高的數(shù)值。我們大腦的神經(jīng)細胞（神經(jīng)元）連接方式的可能性居然比宇宙中的原子數(shù)目還多！神經(jīng)元的連接方式如果能遍歷任意組合，那么我們將成為神！實際上我們大腦負責(zé)處理多數(shù)事物的神經(jīng)元連接方式組合遠遠超過其他動物，因此在競爭中所向無敵。但組合方式數(shù)量始終是有限的（在很多項目上，因為處理神經(jīng)元數(shù)目少，所以據(jù)劣勢。比如視力vs隼，嗅覺vs豬；但理性思考和抽象思考方面的能力，使得人極度膨脹，喪失理性，有著成為神的沖動。）

2.不同尺度海岸線的曲折類似狀況，蘊含著標(biāo)度對稱，就意味著存在遍歷一維曲線的能力。通?？梢允褂秒S機koch來模擬海岸線。海岸線決定于大陸板塊的運動、冰川變化、河流泥沙的沉積。而這些和地球內(nèi)部流體運動、大尺度氣溫變遷相關(guān)聯(lián)。可以說著小尺度上，決定海岸線的因素很隨機，在大尺度上也很隨機，直到地球板塊階段，大致輪廓才能確定。這也正是隨機koch線段可以模擬海岸線的原因。

3.地質(zhì)運動和火山這兩種造山起因完全不同，所以山的外在表現(xiàn)特征不同。撇去山上的植被，無論規(guī)模大小，都存在不同程度的相似性。山的體積是有限值，而表面積無限擴充。和海綿相同，都是介于二維和三維的對象?；鹕絿姲l(fā)時，會產(chǎn)生大量浮石，可漂浮在水面上。這些浮石都是海綿類型的分形結(jié)構(gòu)。由于孔狀連接畢竟是巖石材質(zhì)，可以作為搓腳石，去除體表死皮組織。

4.遞歸的本質(zhì)給出了一個限制，上次遞歸的結(jié)果作為本次遞歸的初始值，那么意味著遞歸的輸入和輸出是同一類型。如果輸入和輸出完全不同類型，比如能量和時間，那么無法完成遞歸。在物理系統(tǒng)中，可通過變換過程的作用方式，使得輸入輸出完全同類型。最簡潔的類型：輸入輸出是純粹的數(shù)值，沒有任何單位。在物理上稱為無量綱方法，由美國人buckingham提出的Π定理來處理。在數(shù)學(xué)上，數(shù)值沒有區(qū)別，但是存在數(shù)的組織方式的差異（標(biāo)量、矢量、矩陣…）。當(dāng)組織方式相同時，遞歸的方法一般稱為迭代（過程一般稱為算子）。數(shù)值大小上的差異：在計算機實施運算時，數(shù)值差異太大，導(dǎo)致表達誤差的放大。讓輸入輸出的數(shù)值大小接近（最好是在1附近），最大程度地保持精度，稱為歸一化處理。遞歸結(jié)束時，輸出為最終結(jié)果，那么遞歸過程的中間產(chǎn)物從幾何角度來看，就是不斷接近最終結(jié)果的過程，可把最終結(jié)果稱為不動點。如果中間結(jié)果和不動點之間的距離在持續(xù)減小，則過程是單調(diào)的?，F(xiàn)實的世界總是存在誤差，無法完美地抵達不動點。通常在中間結(jié)果在小范圍變動而不逾越范圍時結(jié)束遞歸，稱遞歸停滯，并以此時中間結(jié)果為最終結(jié)果。

分形必然意味著遞歸，但遞歸不一定產(chǎn)生分形！分形是遞歸的充分條件，遞歸是分形的必要條件。意味著分形和遞歸兩者不對稱。那么產(chǎn)生分形和不產(chǎn)生分形的遞歸，存在什么差異？

在自然界，任何變動，都可以從多個角度來觀察。從能量的角度，系統(tǒng)任何變動都可以分類為獲得能量、能量不變、失去能量中的一類。失去能量過程，能量最低為0，無法為負。因此這類過程不可能產(chǎn)生遍歷狀況，因為能量比初始大的情況永遠無法出現(xiàn)。獲得能量過程，如果能量持續(xù)增加，最后到無限大。但能量低于初始值的情況無法出現(xiàn)。因此如果遞歸過程出現(xiàn)遍歷，就必須：1.能量放大。2.能量不是單調(diào)放大，中間出現(xiàn)反復(fù)（震蕩），進入低能量狀態(tài)。能量不變，則能量任意轉(zhuǎn)換。由能量轉(zhuǎn)換的不對稱性，最終能量變?yōu)闊o價值的熱，無法實現(xiàn)能量遍歷。能量無限大，這個無法在我們的宇宙出現(xiàn)。因此換視角，以狀態(tài)的視角來觀察遞歸過程。狀態(tài)變動存在范圍，那么觀察狀態(tài)是否遍歷整個范圍。狀態(tài)變動，如果存在不動點，無論是單調(diào)接近還是震蕩接近，都意味著無法遍歷。如果中間結(jié)果的變動范圍：1.始終不存在收縮，2.并且無規(guī)律可尋，那么意味著遍歷（變動范圍一直在增加，可能出現(xiàn)嗎？）！我們把遍歷狀態(tài)的過程稱為混沌過程。

在一個區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)遍歷，和無限制的遍歷，是等效的嗎？遍歷意味著標(biāo)度對稱，那么有限區(qū)間可以放大到無限，因此遍歷等效。因此觀察遞歸是否產(chǎn)生分形，則觀察遞歸是否存在上述的兩個特性。